3. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thứca. A = 4x2  4x 11b. B = (x - 1) (x 2) (x 3) (x 6)c. C = x2 - 2x y2 - 4y 7Ai nha... - Hoc24

\(A=\left(4x^2+4x+1\right)+10=\left(2x+1\right)^2+10\ge10\)

\(A_{min}=10\) khi \(2x+1=0\Rightarrow x=-\dfrac{1}{2}\)

\(B=\left(x-1\right)\left(x+6\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)=\left(x^2+5x-6\right)\left(x^2+5x+6\right)=\left(x^2+5x\right)^2-36\ge-36\)

\(B_{min}=-36\) khi \(x^2+5x=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-5\end{matrix}\right.\)

\(C=\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2-4x+4\right)+2=\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+2\ge2\)

\(C_{min}=2\) khi \(\left(x;y\right)=\left(1;2\right)\)

a. \(A=4x^2+4x+11\)

   \(A=\left(4x^2+4x+1\right)+10\)

  \(A=\left(2x+1\right)^2+10\)

Ta có: \(\left(2x+1\right)^2\ge0;\forall x\) 

\(\Rightarrow A_{min}=10\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(2x+1\right)^2=0\)

                            \(\Leftrightarrow2x+1=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{2}\)

c.\(C=x^2-2x+y^2-4y+7\)

  \(C=\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2-4y+4\right)+2\)

  \(C=\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+2\)

Ta có: \(\left(x-1\right)^2\ge0;\left(y-2\right)^2\ge0;\forall x,y\)

\(\Rightarrow C_{min}=2\)

Dấu "=" xảy ra khi\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)^2=0\\\left(y-2\right)^2=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-1=0\\y-2=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2\end{matrix}\right.\)

Bài 3: 

a) Ta có: \(A=25x^2-20x+7\)

\(=\left(5x\right)^2-2\cdot5x\cdot2+4+3\)

\(=\left(5x-2\right)^2+3>0\forall x\)(đpcm)

d) Ta có: \(D=x^2-2x+2\)

\(=x^2-2x+1+1\)

\(=\left(x-1\right)^2+1>0\forall x\)(đpcm)

Bài 1: 

a) Ta có: \(A=x^2-2x+5\)

\(=x^2-2x+1+4\)

\(=\left(x-1\right)^2+4\ge4\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi x=1

b) Ta có: \(B=x^2-x+1\)

\(=x^2-2\cdot x\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}\)

\(=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi \(x=\dfrac{1}{2}\)

Bài 6:

a) Ta có: \(A=-x^2+6x-11\)

\(=-\left(x^2-6x+11\right)\)

\(=-\left(x-3\right)^2-2\le-2\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi x=3

b) Ta có: \(B=-x^2-8x+5\)

\(=-\left(x^2+8x-5\right)\)

\(=-\left(x^2+8x+16-21\right)\)

\(=-\left(x+4\right)^2+21\le21\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi x=-4

c) Ta có: \(C=-x^2+4x+1\)

\(=-\left(x^2-4x-1\right)\)

\(=-\left(x^2-4x+4-5\right)\)

\(=-\left(x-2\right)^2+5\le5\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi x=2

Bài 7:

a) Ta có: \(x^2-6x+11\)

\(=x^2-6x+9+2\)

\(=\left(x-3\right)^2+2\ge2\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi x=3

b) Ta có: \(B=x^2+2x+y^2-4y+6\)

\(=x^2+2x+1+y^2-4y+4+1\)

\(=\left(x+1\right)^2+\left(y-2\right)^2+1\ge1\forall x,y\)

Dấu '=' xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\y=2\end{matrix}\right.\)

Vậy: \(B_{min}=1\) khi (x,y)=(-1;2)

c) Ta có: \(C=4x^2+4x+9y^2-6y-5\)

\(=4x^2+4x+1+9y^2-6y+1-7\)

\(=\left(2x+1\right)^2+\left(3y-1\right)^2-7\ge-7\forall x,y\)

Dấu '=' xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{1}{2}\\y=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

Vậy: \(C_{min}=-7\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{1}{2}\\y=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

\(A=2x^2+x=2\left(x^2+\dfrac{1}{2}x\right)=2\left(x^2+2.\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{16}-\dfrac{1}{16}\right)\)

\(=2\left[\left(x+\dfrac{1}{4}\right)^2-\dfrac{1}{16}\right]\ge-\dfrac{1}{8}\) dấu"=' xảy ra<=>x=\(-\dfrac{1}{4}\)

\(B=x^2+2x+y^2-4y+6\)

\(=x^2+2x+1+y^2-4y+4+1=\left(x+1\right)^2+\left(y-2\right)^2+1\)

\(\ge1\) dấu"=" xảy ra<=>x=-1;y=2

\(C=4x^2+4x+9y^2-6y-5\)

\(=4x^2+4x+1+9y^2-6y+1-7\)

\(=\left(2x+1\right)^2+\left(3y-1\right)^2-7\ge-7\)

dấu"=" xảy ra<=>x=\(-\dfrac{1}{2},y=\dfrac{1}{3}\)

\(D=\left(2+x\right)\left(x+4\right)-\left(x-1\right)\left(x+3\right)^2\)

=\(x^2+6x+8-\left(x-1\right)\left(x+3\right)^2\)

\(=\left(x+3\right)^2-1-\left(x-1\right)\left(x+3\right)^2\)

\(=\left(x+3\right)^2\left(2-x\right)-1\ge-1\)

dấu"=" xảy ra\(< =>\left[{}\begin{matrix}x=-3\\x=2\end{matrix}\right.\)

*Tìm giá trị nhỏ nhất

a) \(A=x^2-4x+1\)

Ta có: \(A=x^2-4x+1\)

\(=x^2-4x+4-5=\left(x-2\right)^2-5\)

Ta có: \(\left(x-2\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow\left(x-2\right)^2-5\ge-5\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi \(\left(x-2\right)^2=0\Leftrightarrow x-2=0\Leftrightarrow x=2\)

Vậy: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A=x^2-4x+1\) là -5 khi x=2

b) \(B=4x^2+4x+11\)

Ta có: \(B=4x^2+4x+11\)

\(=\left(2x\right)^2+2\cdot2x\cdot1+1+10=\left(2x+1\right)^2+10\)

Ta có: \(\left(2x+1\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow\left(2x+1\right)^2+10\ge10\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi \(\left(2x+1\right)^2=0\Leftrightarrow2x+1=0\Leftrightarrow2x=-1\Leftrightarrow x=\frac{-1}{2}\)

Vậy: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(B=4x^2+4x+11\) là 10 khi \(x=\frac{-1}{2}\)

*Tìm giá trị lớn nhất

e) \(E=5-8x-x^2\)

Ta có: \(E=5-8x-x^2\)

\(=-\left(-5+8x+x^2\right)=-\left(x^2+8x-5\right)=-\left(x^2+8x+16-21\right)=-\left(x+4\right)^2+21\)

Ta có: \(\left(x+4\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow-\left(x+4\right)^2\le0\forall x\)

\(\Rightarrow-\left(x+4\right)^2+21\le21\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi \(\left(x+4\right)^2=0\Leftrightarrow x+4=0\Leftrightarrow x=-4\)

Vậy: Giá trị lớn nhất của biểu thức \(E=5-8x-x^2\) là 21 khi x=-4

f) \(F=4x-x^2+1\)

Ta có: \(F=4x-x^2+1\)

\(=-\left(-4x+x^2-1\right)\)

\(=-\left(x^2-4x-1\right)=-\left(x^2-4x+4-5\right)\)

\(=-\left(x-2\right)^2+5\)

Ta có: \(\left(x-2\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow-\left(x-2\right)^2\le0\forall x\)

\(\Rightarrow-\left(x-2\right)^2+5\le5\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi \(\left(x-2\right)^2=0\Leftrightarrow x-2=0\Leftrightarrow x=2\)

Vậy: Giá trị lớn nhất của biểu thức \(F=4x-x^2+1\) là 5 khi x=2

\(a,\\ A=25x^2-10x+11\\ =\left(5x\right)^2-2.5x.1+1^2+10\\ =\left(5x+1\right)^2+10\ge10\forall x\in R\\ Vậy:min_A=10.khi.5x+1=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{5}\\ B=\left(x-3\right)^2+\left(11-x\right)^2\\ =\left(x^2-6x+9\right)+\left(121-22x+x^2\right)\\ =x^2+x^2-6x-22x+9+121=2x^2-28x+130\\ =2\left(x^2-14x+49\right)+32\\ =2\left(x-7\right)^2+32\\ Vì:2\left(x-7\right)^2\ge0\forall x\in R\\ Nên:2\left(x-7\right)^2+32\ge32\forall x\in R\\ Vậy:min_B=32.khi.\left(x-7\right)=0\Leftrightarrow x=7\\Tương.tự.cho.biểu.thức.C\)

b:

\(D=-25x^2+10x-1-10\)

\(=-\left(25x^2-10x+1\right)-10\)

\(=-\left(5x-1\right)^2-10< =-10\)

Dấu = xảy ra khi x=1/5

\(E=-9x^2-6x-1+20\)

\(=-\left(9x^2+6x+1\right)+20\)

\(=-\left(3x+1\right)^2+20< =20\)

Dấu = xảy ra khi x=-1/3

\(F=-x^2+2x-1+1\)

\(=-\left(x^2-2x+1\right)+1=-\left(x-1\right)^2+1< =1\)

Dấu = xảy ra khi x=1

a)\(A=-x^2+2x+3=-\left(x^2-2x+1\right)+4=-\left(x-1\right)^2+4\le4\)

\(maxA=4\Leftrightarrow x=1\)

b) \(C=12x-4x^2+3=-\left(4x^2-12x+9\right)+12=-\left(2x-3\right)^2+12\le12\)

\(maxC=12\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}\)

Lời giải:

a)

$A=5-8x-x^2=21-(x^2+8x+16)=21-(x+4)^2$Vì $(x+4)^2\geq 0$ nên $A=21-(x+4)^2\leq 21$

Vậy GTLN của $A$ là $21$. Giá trị này đạt tại $x+4=0\Leftrightarrow x=-4$

b) 

$B=5-x^2+2x-4y^2-4y=5-(x^2-2x)-(4y^2+4y)$

$=7-(x^2-2x+1)-(4y^2+4y+1)$

$=7-(x-1)^2-(2y+1)^2$

Vì $(x-1)^2\geq 0; (2y+1)^2\geq 0$ với mọi $x,y$ nên $B=7-(x-1)^2-(2y+1)^2\leq 7$Vậy GTLN của $B$ là $7$ tại $x=1; y=\frac{-1}{2}$